Espaços de Sobolev: Propriedades Elementares;Produto interno e norma em H^1n(Omega);Separabilidade de H^1(Omega); Os Espaços D(Omega no R^n) e

D(R); Os Espaços H_0^1(Omega): Truncamento e regularização; Traço de Funções de H^1; Abertos bem regular; Densidade deD(Omega fecho) em H^1(Omega); Dualidade

Imersões de Espaços de Sobolev H^m(Omega);Transformada de Fourier e propriedade de 1 e m- prolongamento; Teoremja de Rellich e seu corolário. 

Formulação Variacional dos problema de Contornos: Problemas Variacioanais Abstratos: lema de Lax-Milgram; Problemas de Dirichlet e Neumann;

Teoria espectral: Problema Variacional abstrato; autovetores e autovalores; Base spectral; Aplicações; Problema de Dirichlet e Neumann

Método de Galerkin:Base espectral para o problema: a(u,v)=<f,v>; com V contido em H, ambos Hilbert, com imersão contínua e densa; Resolve-se o problema acima em V_m subespaço gerado pelos m- primeiros vetores da base de V; Mostra-se a existência e Unicidade de Solução; Mostra-se que as soluções aproximadas converge forte para a solução do problema original;  Estimativa do Erro;

Obtém-se a solução dos problema de Cauchy para as Equações de Evoluções: Equação do Calor e da Onda em R^n, lineares; usando-se o Método de Galerkin.